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如圖，已知橢圓
x2
4
+y2=1上一點M（除短軸端點處）與短軸兩端點B1、B2的連線分別交x軸于P、Q兩點，求證|OP|•|OQ|為定值．
考點：橢圓的簡單性質
專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：由已知條件，利用直線方程的截距式分別求出點P，Q的橫坐標的表達式，再利用橢圓的方程即可證明結論．
解答： 證明：設M（x0，y0），P（p，0），Q（q，0）．
由直線方程的截距式及M，P，B1三點共線，得到
x0
p
-
y0
b
=1，∴p=
x0
1+y0
，
由直線方程的截距式及M，P，B2三點共線，得到
x0
q
+
y0
b
=1，q=
x0
1-y0
，
∴|OP|•|OQ|=|pq|=
x02
1-y02
=4．
點評：本題考查橢圓的應用，涉及到直線的截距式方程、橢圓等知識點，綜合性強，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

等差數列{an}中，a2=4，S6=42．
（1）求數列的通項公式an；
（2）設bn=
2
(n+1)an
，Tn=b1+b2+…+bn，求T10．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知某一段公路限速60公里/小時，現抽取200輛通過這一段公路的汽車的時速，其頻率分布直方圖如圖所示，則這200輛汽車中在該路段沒有超速的有
 
輛．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={（（x，y）||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，B={（x，y）|（x-a）2+（y-b）2≤1，x，y∈R，（a，b）∈A}，則集合B所表示圖形的面積是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

為解決應屆大學畢業(yè)生的就業(yè)問題，一公司決定對某高校定向招聘員工，要求應聘者在指定的三項技能中隨機選取兩項進行考核，如果這兩項考核通過，則該應聘者被錄用，已知該校有20名技能水平相當的畢業(yè)生參加應聘，每人在三項指定的技能考核中能通過的概率分別是
4
5
，
17
30
，
2
5
．假設每人在各項考核中能否通過的事件相互獨立．
（Ⅰ）求一應聘者被錄用的概率；
（Ⅱ）記這些應聘者在此次招聘中被錄用的人數為X，求均值（數學期望）EX及P（X=k）取最大值時整數k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|（x∈R），四位同學研究得出如下四個命題，其中真命題的有
 

①f（x）是偶函數；
②f（x）在（0，+∞）單調遞增；
③不等式f（x）＜2014×2015的解集為∅；
④關于實數a的方程f（2a-3）=f（a-1）可能有無數解．

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科目：高中數學 來源： 題型：

y=2x，y=log2x，y=x2這三個函數中，當0＜x1＜x2＜1時，使f（
x1+x2
2
）＞
f(x1)+f(x2)
2
恒成立的個數是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知實數x，y滿足條件
x-y≥0
x+y≥0
x≤1
，則x-（
1
2
）y的最大值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=
x
x+1
的值域為
 
．

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