【題目】在極坐標系中,點的極坐標是
,曲線
的極坐標方程為
.以極點為坐標原點,極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系,斜率為
的直線
經(jīng)過點
.
(1)若時,寫出直線
和曲線
的直角坐標方程;
(2)若直線和曲線
相交于不同的兩點
,求線段
的中點
的在直角坐標系中的軌跡方程.
【答案】(1);
(2)
,
【解析】
(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式即可得解;
(2)方法一:設(shè)直線的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù))與曲線
的方程聯(lián)立,根據(jù)參數(shù)的幾何意義求得
,代入直線方程求得
化簡消參即可得出結(jié)果.
方法二: 由于直線的斜率存在,設(shè)直線
,與曲線
方程聯(lián)立,根據(jù)韋達定理可得
,代入直線求得
,化簡可得
,即可得出結(jié)果.
解:(1)點的直角坐標為
,所以直線
,可得
,
即
(2)如圖可知,直線和圓相切時,.
方法一:設(shè)直線的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù))
由于直線和曲線
相交,所以
聯(lián)立直線和曲線
的方程可得
所以,即
因此,其中
即點的軌跡方程為
,
方法二:顯然直線的斜率存在,不妨設(shè)為
,即直線
,
與聯(lián)立可得:
,
,可以解得
,即:
設(shè),
,所以
,所以
,
可得
所以
另一方面,由于,所以
綜上,點的軌跡方程為
,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的各項均為非零實數(shù),其前
項和為
,且
.
(1)若,求
的值;
(2)若,求證:數(shù)列
是等差數(shù)列;
(3)若,
,是否存在實數(shù)
,使得
對任意正整數(shù)
恒成立,若存在,求實數(shù)
的取值范圍,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某校高三年級有1000人參加一次數(shù)學(xué)模擬考試,現(xiàn)把這次考試的分數(shù)轉(zhuǎn)換為標準分,標準分的分數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為,若使標準分X服從正態(tài)分布N
,則下列說法正確的有( ).
參考數(shù)據(jù):①;②
;③
A.這次考試標準分超過180分的約有450人
B.這次考試標準分在內(nèi)的人數(shù)約為997
C.甲、乙、丙三人恰有2人的標準分超過180分的概率為
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線,
為直線
上的動點,過點
作拋物線
的兩條切線,切點分別為
,
.
(1)證明:直線過定點;
(2)若以為圓心的圓與直線
相切,且切點為線段
的中點,求該圓的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
,給定下列命題:
①若方程有兩個不同的實數(shù)根,則
;
②若方程恰好只有一個實數(shù)根,則
;
③若,總有
恒成立,則
;
④若函數(shù)有兩個極值點,則實數(shù)
.
則正確命題的個數(shù)為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界第一產(chǎn)糧大國,我國糧食產(chǎn)量很高,整體很安全按照14億人口計算,中國人均糧食產(chǎn)量約為950斤﹣比全球人均糧食產(chǎn)量高了約250斤.如圖是中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中2010﹣2019年,我國糧食產(chǎn)量(千萬噸)與年末總?cè)丝冢ㄇf人)的條形圖,根據(jù)如圖可知在2010﹣2019年中( )
A.我國糧食年產(chǎn)量與年末總?cè)丝诰鹉赀f增
B.2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大
C.2015年﹣2019年我國糧食年產(chǎn)量相對穩(wěn)定
D.2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達到了最高峰
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若f(x)在[0,2]上是單調(diào)函數(shù),求a的值;
(2)已知對∈[1,2],f(x)≤1均成立,求a的取值范圍.
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