如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為l的正方形,側(cè)棱AA1=2.
(1)求證:C1D∥平面ABB1A1
(2)求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值.
考點(diǎn):直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)由已知得CC1∥平面ABB1A1,CD∥AB,由此能證明C1D∥平面ABB1A1
(2)以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,利用向量法能求出直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值.
解答: (1)證明:四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1,
又CC1不包含于面ABB1A1,所以CC1∥平面ABB1A1
ABCD是正方形,所以CD∥AB,
又CD不包含于面ABB1A1,所以CD∥平面ABB1A1
所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1,
所以C1D∥平面ABB1A1
(2)解:ABCD是正方形,AD⊥CD,
因?yàn)锳1D⊥平面ABCD,
所以A1D⊥AD,A1D⊥CD,
如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
在△ADA1中,由已知可得A1D=
3
,
所以D(0,0,0),A1(0,0,
3
),A(1,0,0),
C1(-1,1,
3
),B1(0,1,
3
),D1(-1,0,
3
),B(1,1,0),
BD1
=(-2,-1,
3
)
,
因?yàn)锳1D⊥平面ABCD,
所以A1D⊥平面A1B1C1D1
A1D⊥B1D1,又B1D1⊥A1C1,
所以B1D1⊥平面A1C1D,
所以平面A1C1D的一個(gè)法向量為
n
=(1,1,0),
設(shè)
BD1
n
所成的角為β,又
BD1
=(-2,-1,
3
)
,
則cosβ=
-3
2
8
=-
3
4

所以直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值為
3
4
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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x1+2x2
3
)>k.

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2x-1
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y
=
b
x+
a

(參考公式:回歸直線方程式
y
=
b
x+
a
,其中
b
=
n
i=1
xiyi-
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x2
a
=
.
y
-
b
.
x

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