Question

如圖，一個圓形游戲轉盤被分成6個均勻的扇形區(qū)域．用力旋轉轉盤，轉盤停止轉動時，箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是每次游戲所得的分數(shù)（箭頭指向兩個區(qū)域的邊界時重新轉動），且箭頭A指向每個區(qū)域的可能性都是相等的．在一次家庭抽獎的活動中，要求每個家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉動一次游戲轉盤，得分情況記為（a，b）（假設兒童和成人的得分互不影響，且每個家庭只能參加一次活動）．
（Ⅰ）求某個家庭得分為（5，3）的概率；
（Ⅱ）若游戲規(guī)定：一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品．求某個家庭獲獎的概率；
（Ⅲ）若共有4個家庭參加家庭抽獎活動．在（Ⅱ）的條件下，記獲獎的家庭數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,等可能事件的概率,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）記事件A：某個家庭得分情況為（5，3）．由等可能求件的概率計算公式能求出某個家庭得分為（5，3）的概率．
（Ⅱ）記事件B：某個家庭在游戲中獲獎，則符合獲獎條件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3類情況．由此能求出某個家庭獲獎的概率．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每個家庭獲獎的概率都是

1

3

，X～B（4，

1

3

），由此能求出X的分布列及數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）記事件A：某個家庭得分情況為（5，3）．
P（A）=

1

3

×

1

3

=

1

9

．
所以某個家庭得分情況為（5，3）的概率為

1

9

．…（2分）
（Ⅱ）記事件B：某個家庭在游戲中獲獎，
則符合獲獎條件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3類情況．
所以P（B）=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

=

1

3

所以某個家庭獲獎的概率為

1

3

．…（4分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每個家庭獲獎的概率都是

1

3

，
∴X～B（4，

1

3

）…（5分）
P（X=0）=（

2

3

）⁴=

16

81

，P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，
P（X=4）=(

1

3

)4=

1

81

，…（10分）
∴X分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

EX=np=4×

1

3

=

4

3

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．