Question

已知點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)形成的軌跡∏.

（1）求點(diǎn)的軌跡∏的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，是否存在直線交點(diǎn)的軌跡∏于兩點(diǎn)，且使點(diǎn)為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用消元法得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用垂直的數(shù)量積為0進(jìn)行求解.

試題解析：（1）設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806015381444841/SYS201503280601581115608737_DA/SYS201503280601581115608737_DA.005.png">點(diǎn)為的中點(diǎn)，

則（），消去得到點(diǎn)的軌跡方程為； （5分）

（2）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806015381444841/SYS201503280601581115608737_DA/SYS201503280601581115608737_DA.016.png">為△的垂心，點(diǎn)，

故．于是設(shè)直線的方程為，

由得．

由，得， 且,．

由題意應(yīng)有，又，

故，得,

即,

整理得,

解得或．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去,

當(dāng)時(shí)，滿足，所求直線存在，的方程為． （12分）.

考點(diǎn)：1.點(diǎn)的軌跡方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.