Question

在四邊形ABCD中，A、B為定點，C、D為動點，AB=，BC=CD=AD=1，若△ADB與△BCD的面積分別為S和T．
（1）求S²+T²的最大值；
（2）當S²+T²取最大值時，求∠BCD的值．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：解三角形

分析：（1）法1：設(shè)∠BCD=θ，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，求出△ADB與△BCD的面積分別為S和T，即可求S²+T²的最大值；
    法2：設(shè)BD=2x，建立以x為變量的函數(shù)關(guān)系，求出△ADB與△BCD的面積分別為S和T，即可求S²+T²的最大值
（2）法1：當S²+T²取最大值時，即可確定∠BCD的值．
     法2：當S²+T²取最大值時，求出對應的x的值，利用余弦定理即可求出∠BCD的值．

解答： 解法一：（1）設(shè)∠BCD=θ，則0＜θ＜π，
而T2=(

1

2

×1×1×sinθ)2=

1

4

sin2θ，
在△BCD中，BD²=2-2cosθ，
在△ABD中，cosA=

1+3-2+2cosθ

2×1× 3

=

1+cosθ

3

，
∴S2=(

1

2

×1×

3

×sinA)2=

3

4

sin2A=

3

4

(1-cos2A)=

2-cos2θ-2cosθ

4

，
∴S2+T2=

2-cos2θ-2cosθ

4

+

sin2θ

4

=

-2cos2θ-2cosθ+3

4

=-

1

2

(cosθ+

1

2

)2+

7

8

，
∴當cosθ=-

1

2

時，S²+T²有最大值

7

8

．
（2）由 （1）知，S²+T²有最大值

7

8

時，θ=

2

3

π，即∠BCD=

2π

3

，
解法二：令BD=2x，則

3

-1＜2x＜2，∴x∈(

3 -1

2

，1)，
∴cosA=

4-4x2

2 3

，sin2A=1-cos2A=1-

16(1-x2)2

12

，
過C作CE⊥BD交BD于E，CE=

1-x2

，
∴S²+T²=(

1

2

×1×1×sinθ)2+(

1

2

×2x×

1-x2

)2=

3

4

[1-

4

3

(1-x2)2]+x2(1-x2)=

3

4

-(1-x2)2+x2(1-x2)=-2x4+3x2-

1

4

=-2(x2-

3

4

)2+

7

8

…（7分）
∵x2∈(

4-2 3

4

，1)，
∴當x2=

3

4

時，S²+T²有最大值

7

8

．      
（2）在△BCD中，BD=

3

，cos∠BCD=

1+1-3

2×1×1

=-

1

2

，
∴∠BCD=

2π

3

．

點評：本題主要考查解三角形的應用，分別建立以角和邊長為變量的函數(shù)關(guān)系，求出對應的面積是解決本題的關(guān)鍵．