如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4,AD=2,AB=2,BC=6.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的大�。�

【答案】分析:(Ⅰ)要證BD⊥平面PAC,只需證明BD垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA,AC即可.
(Ⅱ)過E作EF⊥PC,垂足為F,連接DF,說明∠EFD為二面角A-PC-D的平面角,推出Rt△EFC∽Rt△PAC,通過解Rt△EFD,求二面角A-PC-D的大�。�
解答:證明:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD.∴BD⊥PA.
,.∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.
又PA∩AC=A.∴BD⊥平面PAC
(Ⅱ)過E作EF⊥PC,垂足為F,連接DF.
∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂線定理知PC⊥DF,∴∠EFD為二面角A-PC-D的平面角.
又∠DAC=90°-∠BAC=30°,
∴DE=ADsinDAC=1,,
,∴,PC=8.
由Rt△EFC∽Rt△PAC得
在Rt△EFD中,,∴
∴二面角A-PC-D的大小為
點(diǎn)評:本題考查平面與平面垂直的判定,二面角及其度量,考查邏輯思維能力,空間想象能力,計(jì)算能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯  形,AB∥CD,AB⊥BC,CD=PB=BC=1,
AB=2,且PB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)試在棱PB上求一點(diǎn)M,使CM∥平面PDA;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,求三棱錐P-ADM的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).
(1)求證:PB⊥DM;
(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;
(3)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,PE:ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60°.存在求出λ值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).
(1)求證:PB⊥DM;
(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;
(3)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,PE:ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60°.存在求出λ值.

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(1)求證:PB⊥DM;
(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;
(3)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,PE:ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60°.存在求出λ值.

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如圖,已知棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯  形,AB∥CD,AB⊥BC,CD=PB=BC=1,
AB=2,且PB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)試在棱PB上求一點(diǎn)M,使CM∥平面PDA;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,求三棱錐P-ADM的體積.

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同步練習(xí)冊答案
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