【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為菱形,
為
的中點(diǎn),
.
(1)求證:平面
;
(2)點(diǎn)在線段
上,
,試確定
的值,使
平面
;
(3)若平面
,平面
平面
,求二面角
的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【解析】
(1)由線面垂直的判定定理,分別證明,
即可;
(2)利用平面
,可得
,再利用比例關(guān)系即可得解;
(3)先建立空間直角坐標(biāo)系,再分別求出平面和平面
的一個(gè)法向量,再結(jié)合向量的夾角公式求解即可.
解:(1)由底面為菱形,
為
的中點(diǎn),則
,
又,則
,
又,
由線面垂直的判定定理可得平面
;
(2)當(dāng)時(shí),
平面
,
證明如下:連接交
于
,連接
,
因?yàn)?/span>,所以,
因?yàn)?/span>平面
,
平面
,
平面平面
,
所以,
所以,
所以,
故;
(3)因?yàn)?/span>,平面
平面
,交線為
,則
平面
,
建立如圖所示的看見(jiàn)直角坐標(biāo)系,
由,則有
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
由,且
,
,
可得,取
,則
,
取平面的一個(gè)法向量為
,
則,
故二面角的大小為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將所有平面向量組成的集合記作,
是從
到
的對(duì)應(yīng)關(guān)系,記作
或
,其中
、
、
、
都是實(shí)數(shù),定義對(duì)應(yīng)關(guān)系
的模為:在
的條件下
的最大值記作
,若存在非零向量
,及實(shí)數(shù)
使得
,則稱(chēng)
為
的一個(gè)特殊值;
(1)若,求
;
(2)如果,計(jì)算
的特征值,并求相應(yīng)的
;
(3)若,要使
有唯一的特征值,實(shí)數(shù)
、
、
、
應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?試找出一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系
,同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:①有唯一的特征值
,②
,并驗(yàn)證
滿(mǎn)足這兩個(gè)條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(
)的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線上任意一點(diǎn),過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));
(ii)當(dāng)最小時(shí),求點(diǎn)T的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了預(yù)測(cè)下月產(chǎn)品銷(xiāo)售情況,找出了近7個(gè)月的產(chǎn)品銷(xiāo)售量(單位:萬(wàn)件)的統(tǒng)計(jì)表:
月份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷(xiāo)售量 |
但其中數(shù)據(jù)污損不清,經(jīng)查證,
,
.
(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明銷(xiāo)售量與月份代碼
有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系;
(2)求關(guān)于
的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(3)公司經(jīng)營(yíng)期間的廣告宣傳費(fèi)(單位:萬(wàn)元)(
),每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為10元,預(yù)測(cè)第8個(gè)月的毛利潤(rùn)能否突破15萬(wàn)元,請(qǐng)說(shuō)明理由.(毛利潤(rùn)等于銷(xiāo)售金額減去廣告宣傳費(fèi))
參考公式及數(shù)據(jù):,相關(guān)系數(shù)
,當(dāng)
時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線和
,過(guò)拋物線
上一點(diǎn)
作兩條直線與
分別相切于
兩點(diǎn),分別交拋物線于
兩點(diǎn).
(1)當(dāng)的角平分線垂直
軸時(shí),求直線
的斜率;
(2)若直線在
軸上的截距為
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某地區(qū)某種昆蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)(個(gè))和溫度
(
)的7組觀測(cè)數(shù)據(jù),其散點(diǎn)圖如所示:
根據(jù)散點(diǎn)圖,結(jié)合函數(shù)知識(shí),可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)和溫度
可用方程
來(lái)擬合,令
,結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可知
與溫度
可用線性回歸方程來(lái)擬合.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),計(jì)算得到如下值:
27 | 74 | 182 |
表中,
.
(1)求和溫度
的回歸方程(回歸系數(shù)結(jié)果精確到
);
(2)求產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度
的回歸方程;若該地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)的氣溫在
之間(包括
與
),估計(jì)該品種一只昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)的范圍.(參考數(shù)據(jù):
,
,
,
,
.)
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),
,…,
,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)
為棱
上一動(dòng)點(diǎn)(不包括頂點(diǎn)),平面
交
于點(diǎn)
,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.存在點(diǎn),使得四邊形
為菱形
B.存在點(diǎn),使得四邊形
的面積最小
C.存在點(diǎn),使得
平面
D.存在點(diǎn),使得平面
平面
(其中
為
的中點(diǎn))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某自來(lái)水公司要在公路兩側(cè)安裝排水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線排,在路南側(cè)沿直線
排,現(xiàn)要在矩形區(qū)域
內(nèi)沿直線將
與
接通.已知
,
,公路兩側(cè)排水管費(fèi)用為每米1萬(wàn)元,穿過(guò)公路的
部分的排水管費(fèi)用為每米2萬(wàn)元,設(shè)
與
所成的小于
的角為
.
(Ⅰ)求矩形區(qū)域內(nèi)的排水管費(fèi)用
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系;
(Ⅱ)求排水管的最小費(fèi)用及相應(yīng)的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為橢圓
的左頂點(diǎn),過(guò)
的直線
交拋物線
于
、
兩點(diǎn),
是
的中點(diǎn).
(1)求證:點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值,并求出該定值;
(2)若直線過(guò)
點(diǎn),且傾斜角和直線
的傾斜角互補(bǔ),交橢圓于
、
兩點(diǎn),求
的值,使得
的面積最大.
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