Question

寫出求方程ax²+bx+c=0的根的算法,畫出相應(yīng)的程序框圖,并要求輸出它的實(shí)根.

Answer 1

思路分析:主要考查含參問題的討論方法及條件嵌套結(jié)構(gòu)的應(yīng)用.輸入三個實(shí)數(shù)a,b,c,先判斷a是否為零,當(dāng)a≠0時,是一元二次方程,則通過判斷判別式來求實(shí)根.當(dāng)a=0,b≠0時,不是一元二次方程,可用一元一次方程的解法來解.

解:當(dāng)a≠0時,令Δ=b²-4ac,當(dāng)Δ＜0時,方程無實(shí)數(shù)根;

當(dāng)Δ≥0時,方程有兩個實(shí)數(shù)根x₁=,x₂=.

當(dāng)a=0時,再考慮b:若b≠0,則方程的根為x=;

當(dāng)b=0時,再考慮c:當(dāng)c≠0時,方程無根;

當(dāng)c=0時,方程的解是全體實(shí)數(shù).

算法步驟如下:

第一步,輸入a,b,c.

第二步,如果a≠0,執(zhí)行第三步,如果a=0,執(zhí)行第七步.

第三步,Δ=b²-4ac.

第四步,如果Δ＜0,輸出“方程無實(shí)數(shù)根”,如果Δ≥0,執(zhí)行第五步.

第五步,x₁=,x₂=.

第六步,輸出x₁,x₂.第七步,如果b≠0,執(zhí)行第八步,如果b=0,執(zhí)行第十步.

第八步,x=.第九步,輸出x.

第十步,如果c≠0,輸出“方程無實(shí)根”;

如果c=0,輸出“方程的根為全體實(shí)數(shù)”.

該算法的程序框圖如圖1-1-14所示:

                                       圖1-1-14

    巧妙變式:形如ax²+bx+c=0的方程的求解問題要先定a,分a=0和a≠0兩種情況討論,a≠0要分Δ≥0與Δ＜0兩種情況討論,a=0要分b=0和b≠0兩種情況討論,當(dāng)b=0時再分c=0和c≠0兩種情況討論,一定要做到不重不漏,可按下圖來記憶:

共五種情況,因而程序框圖中有五個輸出框.

變式:寫出解方程x²-2x-3=0的一個算法.

算法一:

1.將方程左邊因式分解,得(x-3)(x+1)=0;①

2.由①得x-3=0,②

或x+1=0;③

3.解②得x=3,解③得x=-1.

算法二:

1.移項,得x²-2x=3;①

2.①式兩邊同加1并配方,得(x-1)²=4;②

3.②式兩邊開方,得x-1=±2;③

4.解③式得x=3或x=-1.

算法三:

1.計算方程的判別式并判斷其符號Δ=2²+4×3=16＞0;

2.將a=1,b=-2,c=-3,代入求根公式,得x₁,2=,得x₁=3,x₂=-1.

評析:本例是給ax²+bx+c=0中的a,b,c分別賦予數(shù)值1,-2,-3.比較三種算法,算法三更簡單,步驟最少,由此我們只要有公式可以利用,利用公式解決問題是最理想、合算的算法.因此在尋求算法的過程中,首先是利用公式.