Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax³+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件：f（-x+5）=f（x-3）且方程f（x）=x有兩個(gè)相等實(shí)根．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x∈[0，3）時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n）使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件分別列出三個(gè)方程聯(lián)立求得a和b的值．
（2）首先把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)距離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近確定函數(shù)的值域．
（3）對(duì)n≤1，m≥1和m＜1，n＞1進(jìn)行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的圖象找到函數(shù)的最大值和最小值表達(dá)式，聯(lián)立方程求得m和n

解答： 解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），
∴函數(shù)的對(duì)稱軸方程x=-

b

2a

=1，①，
∵方程f（x）=x有兩個(gè)相等實(shí)根．
∴對(duì)于f（x）-x=ax²+（b-1）x=0，△=（b-1）²=0，②
聯(lián)立①②求得a=-

1

2

  b=1
∴f（x）=-

1

2

x²+x
（2）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_max=

1

2

當(dāng)x=3時(shí)，f(x)min=-

3

2

當(dāng)x∈[0，3）時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍：-

3

2

≤f(x)≤

1

2

（3）①當(dāng)n≤1時(shí)，f（x）在[m，n]單調(diào)遞減，
所以：

- 1 2 n2+n=3m - 1 2 m2+m=3n

解得：m=n=-4（與m＜n矛盾）或n=12，m=-20與n≤1矛盾故舍去．
②當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[m，n]單調(diào)遞增，
所以

- 1 2 n2+n=3n - 1 2 m2+m=3m

解得n=0或n=-4均不合題意故舍去
③同理：當(dāng)m＜1，n＞1時(shí)，由于對(duì)稱軸為：x=1，
所以3m=-

1

2

+1解得：m=

1

6

令f（m）=-

1

2

×

1

36

+

1

6

=3n解得n＜1不合題意舍去．
令f（n）=-

1

2

n2+n=3n解得：n=0或-4與n＞1相矛盾故舍去
綜上所知：不存在m、n使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)和系數(shù)的關(guān)系，及分類討論問(wèn)題．