Question

已知雙曲線

x2

a2

-y²=1（a＞1）的一個焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線上，且|

OP

|=|

OF

|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△OPF的面積S=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的參數(shù)方程設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)|

OP

|=|

OF

|，求出P的縱坐標(biāo)，然后求出三角形的面積即可．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-y²=1（a＞1）的一個焦點(diǎn)為F（

a2+1

，0），
設(shè)P（asecθ，tanθ）θ∈（0，

π

2

），則
因?yàn)閨

OP

|=|

OF

|，
所以，a²sec²θ+tan²θ=（

a2+1

）²，解得tanθ=

1 1+a2

，
所以△OPF的面積S=

1

2

•

a2+1

•

1 1+a2

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查雙曲線與向量的關(guān)系，求出P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．