Question

已知α為第三象限角，f（α）=

1+sinα 1-sinα

-

1-sinα 1+sinα

，
（Ⅰ）化簡f（α）；
（Ⅱ）設g（α）=f（-α）+

2

tanα

，求函數(shù)g（α）的最小值，并求取最小值時的α的值．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關系的運用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）f（α）被開方數(shù)變形后，利用同角三角函數(shù)間基本關系化簡，再利用二次函數(shù)公式變形，根據(jù)α為第三象限角，得到cosα小于0，化簡即可得到結果；
（Ⅱ）將f（-α）代入g（α）=f（-α）+

2

tanα

化簡，利用完全平方公式大于等于0求出最小值，以及此時α的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（α）=

(1+sinα)2 (1+sinα)(1-sinα)

-

(1-sinα)2 (1+sinα)(1-sinα)

=

1+sinα

|cosα|

-

1-sinα

|cosα|

=

2sinα

|cosα|

，
又α為第三象限角，
則f（α）=-2tanα；
（Ⅱ）g（α）=f（-α）+

2

tanα

=-2tan（-α）+

2

tanα

=2（tanα+

1

tanα

）=2（

tanα

-

1

tanα

）²+4，
當

tanα

=

1

tanα

，即tanα=1，
即α=2kπ+

5

4

π（k∈Z）時，取等號，
即g（α）的最小值為4．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．