Question

如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差．
（1）設數(shù)列{a_n}是公方差為p的等方差數(shù)列，求a_n和a_n-1（n≥2，n∈N）的關系式；
（2）若數(shù)列{a_n}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；
（3）設數(shù)列{a_n}是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將a₁，a₂，a₃，…，a₁₀這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由等方差數(shù)列的定義可知：a_n²-a_n-1²=p，n≥2，n∈N．
（2）證明：由題意可知a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n²，所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
即d（a_n+a_n-1-a_n+1-a_n）=-2d²=0，所以d=0，即a_n是常數(shù)列．
（3）依題意，a_n²-a_n-1²=2，n≥2，n∈N，由此能夠?qū)С?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">an=

2n+2

，或an=-

2n+2

，由此入手能夠?qū)С鲞@種密碼的個數(shù)．

解答：解：（1）解：由等方差數(shù)列的定義可知：a_n²-a_n-1²=p，n≥2，n∈N．
（2）證明：∵a_n是等差數(shù)列，設公差為d，則a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d
又a_n是等方差數(shù)列，∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n²
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
即d（a_n+a_n-1-a_n+1-a_n）=-2d²=0，
∴d=0，即a_n是常數(shù)列．
（3）依題意，a_n²-a_n-1²=2，n≥2，n∈N，
a₁²=4，a_n²=4+2（n-1）=2n+2，
∴an=

2n+2

，或an=-

2n+2

，
即該密碼的第一個數(shù)確定的方法數(shù)是l，其余每個數(shù)都有“正”或“負”兩種
確定方法，當每個數(shù)確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是2⁹=512種，
故，這種密碼共512種．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要注意公式的靈活運用．