Question

已知函數f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求函數y=f（x）的零點；
（2）若函數y=f(x)在(0，2)內有兩個零點x1，x2．求k的取值范圍及

1

x1

+

1

x2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當k=2時，方程是含有絕對值的方程，對絕對值內的值進行分類討論去掉絕對值后解之．
（2）先將含有絕對值的函數轉化為一元一次函數和二元一次函數的分段函數的形式，再利用一元一次函數與二元
一次函數的單調性加以解決．

解答：解：（1）若k=2，則函數y=f（x）=|x²-1|+x² +2x，①當x²-1≥0時，即x≥1或x≤-1時，方程化為2x²+2x-1=0，
解得x=

-1± 3

2

，因為0＜

-1+ 3

2

＜1，故舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②當x²-1＜0時，-1＜x＜1時，方程化為2x+1=0，解得x=-

1

2

．
由①②得當k=2時，方程f（x）=0的解所以x=

-1- 3

2

，或x=-

1

2

．
（II）解：不妨設0＜x₁＜x₂＜2，因為f（x）=

2x2+kx-1 ， |x|＞1 kx+1 ，  |x|≤1

，
所以f（x）在（0，1]是單調函數，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解．
若 1＜x₁＜x₂＜2，則x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符題意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-

1

x1

，所以k≤-1． 由f（x₂）=0得，k=

1

x2

-2x₂，所以，-

7

2

＜k＜-1，
故當-

7

2

＜k＜-1時，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解，故所求的k的范圍是（-

7

2

，-1）．
由于當0＜x₁≤1＜x₂＜2時，k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0，
消去k得，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，∴x₁+x₂=2x₁x₂²，∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1• x2

=2x₂．
∵1＜x₂＜2，∴2＜2x₂＜4，∴2＜

1

x1

+

1

x2

＜4，故

1

x1

+

1

x2

的取值范圍是（2，4）．
綜上可得，k的范圍是（-

7

2

，-1），

1

x1

+

1

x2

的取值范圍是（2，4）．

點評：本題主要考查的高考考點：函數的基本性質、方程與函數的關系等基礎知識；易錯點：解析問題的能力較差，分類討論的問題考慮不全面．備考提示：本題還考查函數的基本性質、方程與函數的關系等基礎知識，以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法解析和解決問題的能力，屬于中檔題．