Question

設(shè)m＞2，給定數(shù)列{x _n }，其中x ₁=m，x_n+1=

xn2

2(xn-1)

（n∈N₊），求證：x _n＞2且

xn+1

xn

＜1．

Answer 1

分析：x _n＞2且

xn+1

xn

＜1等價(jià)于證明2＜x_n+1＜x_n．結(jié)合題設(shè)條件x ₁=m＞2，x_n+1=

xn2

2(xn-1)

（n∈N₊），利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答：解：x _n＞2且

xn+1

xn

＜1等價(jià)于證明2＜x_n+1＜x_n．
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，
∵x2=

x12

2(x1-1)

=x1+

(2-x1)x1

2(x1-1)

，
x2=

x12

2(x1-1)

=

4(x1-1)+x12 -4x1+4

2(x1-1)

=2+

(x1-2)2

2(x1-1)

，x₁=m＞2，
∴2＜x₂＜x₁．
結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2＜x_k+1＜x_k（k∈N⁺），
則xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=xk+1+

(2-xk+1)xk+1

2(xk+1-1)

＞x_k+1，
xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=2+

(xk+1-2)2

2(xk+1-1)

＞2．
∴2＜x_k+2＜x_k+1，
綜上所述，由①②知2＜x_n+1＜x_n．
∴x _n＞2且

xn+1

xn

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．