Question

已知過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點．

（1）若以為直徑的圓經(jīng)過原點，求直線的方程；

（2）若線段的中垂線交軸于點，求面積的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（2） 。

【解析】

試題分析：

思路分析：（1）通過分析已知條件，確定直線的斜率存在，故可設直線方程為，通過聯(lián)立方程組 ，消去，應用韋達定理及，建立k的方程，求解。

（2）通過設線段的中點坐標為

確定線段的中垂線方程為，

將用k表示， ，

利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到，進一步確定三角形面積的最值。

解：（1）依題意可得直線的斜率存在，設為，

則直線方程為 1分

聯(lián)立方程 ，消去，并整理得  2分

則由，得

設，則       4分

      5分

以為直徑的圓經(jīng)過原點

，解得        6分

直線的方程為，即         7分

（2）設線段的中點坐標為

由（1）得         8分

線段的中垂線方程為         9分

令，得    11分

又由（1）知，且 或

，   13分

面積的取值范圍為            14分

考點：直線方程，直線與拋物線的位置關系。

點評：中檔題，確定拋物線的標準方程，一般利用“待定系數(shù)法”，涉及直線與拋物線的位置關系，往往通過聯(lián)立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程。