已知橢圓 
x2
m
+
y2
n
=1
(常數(shù)m、n∈R+,且m>n)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2 ,M、N為短軸的兩個端點,且四邊形F1MF2N是邊長為2的正方形.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過原點且斜率分別為k和-k(k≥2)的兩條直線與橢圓
x2
m
+
y2
n
=1
的交點為A、B、C、D(按逆時針順序排列,且點A位于第一象限內(nèi)),求四邊形ABCD的面積S的最大值..
分析:(Ⅰ)由
m-n=n
2
n
=2
2
,得
m=4
n=2
,由此能得到所求橢圓方程.
(Ⅱ)設(shè)A(x,y).由
y=kx
x2
4
+
y2
2
=1
A(
2
1+2k2
,
2k
1+2k2
)
.根據(jù)題設(shè)直線圖象與橢圓的對稱性,知
S=4×
2
1+2k2
×
2k
1+2k2
=
16k
1+2k2
(k≥2)
.由此能求出四邊形ABCD的面積S的最大值.
解答:解:(Ⅰ)依題意:
m-n=n
2
n
=2
2
,∴
m=4
n=2
,
所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1
.(3分)
(Ⅱ)設(shè)A(x,y).
y=kx
x2
4
+
y2
2
=1
A(
2
1+2k2
,
2k
1+2k2
)
.(6分)
根據(jù)題設(shè)直線圖象與橢圓的對稱性,知(8分)
S=4×
2
1+2k2
×
2k
1+2k2
=
16k
1+2k2
(k≥2)
.(9分)
S=
16
1
k
+2k
(k≥2)

設(shè)M(k)=2k+
1
k
,則M′(k)=2-
1
k2
,當k≥2時,M′(k)=2-
1
k2
>0

∴M(k)在k∈[2,+∞)時單調(diào)遞增,∴[M(k)]min=M(2)=
9
2
,(11分)
∴當k≥2時,Smax=
16
9
2
=
32
9
.(12分)
點評:本題考查橢圓的方程的求法和四邊形面積的最大值的求法,解題時要認真審題,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
m
+
y2
n
=1
,常數(shù)m、n∈R+,且m>n.
(1)當m=25,n=21時,過橢圓左焦點F的直線交橢圓于點P,與y軸交于點Q,若
QF
=2
FP
,求直線PQ的斜率;
(2)過原點且斜率分別為k和-k(k≥1)的兩條直線與橢圓
x2
m
+
y2
n
=1
的交點為A、B、C、D(按逆時針順序排列,且點A位于第一象限內(nèi)),試用k表示四邊形ABCD的面積S;
(3)求S的最大值.

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