Question

已知函數f（x）=2^x+2^-x．
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）求函數的單調增區(qū)間，并證明．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求f（x）定義域為R，然后求f（-x）=f（x），所以得出f（x）為偶函數；
（2）求f′（x），然后找使f′（x）≥0的x所在區(qū)間，即找到了f（x）的單調增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數f（x）的定義域為R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x）；
∴f（x）為偶函數；
（2）f′（x）=2^xln2-2^-xln2=ln2（2^x-2^-x）；
2^x≥2^-x，即x≥-x，x≥0時，f′（x）≥0；
∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增，[0，+∞）是f（x）的單調遞增區(qū)間．

點評：考查奇偶函數的定義，以及根據定義判斷奇偶函數的過程，函數導數符號和函數單調性的關系，指數函數的單調性．