Question

已知數(shù)列{a_n}共有9項(xiàng)，其中a₁=a₉=1，且對每個(gè)i∈{1，2…，8}，均有

ai+1

ai

∈{2，1，-

1

2

}|，記S=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

a9

a8

，則S的最小值為（　�。�

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：令b_i=

ai+1

ai

，1≤i≤8），根據(jù)數(shù)列比值的關(guān)系，結(jié)合S的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)即可．

解答： 解：令b_i=

ai+1

ai

（1≤i≤8），則對每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}，
滿足

8

i=1

bi=

8

i=1

ai+1

ai

=

a9

a1

=1，且b_i∈{2，1，-

1

2

}，1≤i≤8．
反之，由符合上述條件的八項(xiàng)數(shù)列{b_n}可唯一確定一個(gè)符合題設(shè)條件的九項(xiàng)數(shù)列{a_n}．
記符合條件的數(shù)列{b_n}的個(gè)數(shù)為N，
由題意知b_i（1≤i≤8）中有2k個(gè)-

1

2

，2k個(gè)2，8-4k個(gè)1，
且k的所有可能取值為0，1，2．
對于三種情況，當(dāng)k=2時(shí)，S取到最小值6．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)比值之和的最小值的求法，考查滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．