已知函數(shù)f(x)=ax-
b
x
-2lnx,f(1)=0
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為0,且an+1=f′(
1
an-n+1
)
-n+1,已知a1=4,求證an≥2n+2;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試比較
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+an
2
5
的大小,并說明你的理由.
考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:導數(shù)的概念及應用
分析:(1)先求出b的值,要保證原函數(shù)在定義內(nèi)單調(diào),需保證其導函數(shù)在定義域上不變號,分類討論,從而求得參數(shù)的范圍;
(2)函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為0,求出a的值,令h(x)=g(x)-x=
1
(1-x)n
+ln(x-1)-x
,利用導數(shù)研究h(x)的最小值小于等于-1即可.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
因為f(1)=0所以有a=b所以f(x)=ax-
a
x
-2lnx
f/(x)=a+
a
x2
-
2
x
=
ax2-2x+a
x2
,
當a=0時,f/(x)=-
2
x
<0
恒成立,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
當a≠0時,若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則有f′(x)≥0恒成立即a≥
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
,
因為x>0所以a≥1且a=1時f′(x)不恒為0.
若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減,則有f′(x)≤0恒成立即a≤
2x
x2+1
,
因為x>0所以a≤0,
綜上,函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)時a的取值范圍是a≤0或a≥1;
(2)因為函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為0,所以f′(1)=0,
即2a-2=0所以a=1,
所以f(x)=x-
1
x
-2lnx
,g(x)=
1
(1-x)n
+ln(x-1)
,
h(x)=g(x)-x=
1
(1-x)n
+ln(x-1)-x
,所以h/(x)=n
1
(1-x)n+1
+
1
x-1
-1
,
當n是偶數(shù)時n
1
(1-x)n+1
<0,0<
1
x-1
<1
,
所以h′(x)<0即函數(shù)h(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,
所以h(x)≤h(2)=-1,即g(x)≤x-1,
當n是奇數(shù)時,令T(x)=ln(x-1)-x則T/(x)=
1
x-1
-1≤0

所以函數(shù)T(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,所以T(x)≤T(2)=-2,
又因為x≥2時1-x<0所以
1
(1-x)n
<0
,
所以h′(x)<0即函數(shù)h(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,
所以h(x)≤h(2)=-1,即g(x)≤x-1,
綜上,對任意的正整數(shù)n,當x≥2時,有g(x)≤x-1.
點評:本題考察函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系,和分類討論思想,及二次函數(shù)的知識,是導數(shù)中常見的恒成立問題,屬中檔題.
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設f(x)是定義在R上的函數(shù),g(x)=
C
0
n
f(
0
n
)x0(1-x)n+
C
1
n
f(
1
n
)x(1-x)n-1+…+
C
n
n
f(
n
n
)xn(1-x)0
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(2)若f(x)=x,求g(x).

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3
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3
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A、
5
3
B、-
1
3
C、
7
5
D、-
3
5

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1
8
的等差數(shù)列,他第一次測試合格的概率不超過
1
2
,且他直到第二次測試才合格的概率為
9
32

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3
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c
2
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已知n∈(0,1),函數(shù)f(x)=x2+x+n有零點的概率為( �。�
A、
7
8
B、
1
4
C、
1
2
D、
3
4

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