Question

素材1：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;

素材2：tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.

將以上素材構(gòu)建成一個(gè)問題，然后再解答.

Answer 1

構(gòu)建問題：觀察：①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；

②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.由以上兩式一個(gè)從特殊到一般的推廣，并證明你的推廣.

解析：觀察到10°+20°+60°=90°，10°+75°+5°=90°，

因此猜測(cè)此推廣為α+β+γ=,且α、β、γ都不為kπ+,k∈Z,則tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1.

證明如下：由α+β+γ=得α+β=-γ,

∴tan(α+β)=tan(-γ)=cotγ.

又∵ tan(α+β)=,

∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)=cotγ(1-tanαtanβ).

∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα

=tanγ(tanα+tanβ)+tanαtanβ

=tanγ(1-tanαtanβ)·cotγ+tanαtanβ

=1-tanαtanβ+tanαtanβ=1.