Question

△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC的面積為為，求a+c的值．

Answer 1

解：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
將（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，
∴cosB=，又0＜B＜π，
則B=；
（2）∵△ABC的面積為，sinB=sin=，
∴S=acsinB=ac=，
∴ac=6，又b=，cosB=cos=，
∴利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-18=3，
∴（a+c）²=21，
則a+c=．
分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinA不為0，得到cosB的值，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由B的度數求出sinB和cosB的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinB及已知的面積代入求出ac的值，利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，再利用完全平方公式整理后，將b，ac及cosB的值代入，開方即可求出a+c的值．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．