Question

【題目】對于曲線，若存在非負實常數和，使得曲線上任意一點有成立（其中為坐標原點），則稱曲線為既有外界又有內界的曲線，簡稱“有界曲線”，并將最小的外界成為曲線的外確界，最大的內界成為曲線的內確界．

（1）曲線與曲線是否為“有界曲線”？若是，求出其外確界與內確界；若不是，請說明理由；

（2）已知曲線上任意一點到定點，的距離之積為常數，求曲線的外確界與內確界．

Answer 1

【答案】（1）曲線不是“有界曲線”，理由見解析；曲線是“有界曲線”，其外確界為3，內確界為1；（2）當時，曲線的外確界與內確界分別為，；當時，曲線的外確界與內確界分別為，；

當時，曲線的外確界與內確界分別為，．

【解析】

（1）由外確界與內確界的概念，結合曲線方程，數形結合得答案；

（2）由題意求出曲線的方程，進一步得到的范圍，把轉化為含有的代數式，分類討論得答案．

（1）的圖象為開口向右的拋物線，拋物線上的點到原點的距離的最小值為，無最大值，

∴曲線不是“有界曲線”；

∵曲線的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，如圖：

由圖可知曲線上的點到原點距離的最小值為，最大值為，則曲線是“有界曲線”，其外確界為，內確界為；

（2）由已知得：，

整理得：，

∴，

∵，∴，∴，

∴，∴，

則，

∵，

∴，

即，

當時，，則，

∴，則曲線的外確界與內確界分別為，；

當時，，則，

∴，則曲線的外確界與內確界分別為，；

當時，，則，

∴，則曲線的外確界與內確界分別為，；

當時，，則，

∴，則曲線的外確界與內確界分別為，．

綜上，當時，曲線的外確界與內確界分別為，；

當時，曲線的外確界與內確界分別為，；

當時，曲線的外確界與內確界分別為，．