過(guò)拋物線＝x的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦OA、OB．

　�。�1）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)M（1，0）；

　�。�2）求△ABO面積的最小值．

 

答案：
解析：

（1）證明  設(shè)A（，），B（，），

　　則＝，＝．

　�、偃�＝，則由OA⊥OB，得＝＝1，AB過(guò)M（1，0）．

　�、谌�≠，則k＝．

　　由OA⊥OB，得＋＝0，

　　又·＝，

　　∴  ＝－1．

　　故AB方程為y－＝（x－），

　　即（＋）y－－＝x－，

　　化簡(jiǎn)得（＋）y＝x－1，故直線AB過(guò)定點(diǎn)M（1，0）．

（2）解：直線AB：x－1＝ty與＝x聯(lián)立，消去x得方程－ty－1＝0，

　　∴  ＋＝t，＝－1，

　　∴  ＝＋4．

　　∴  ＝｜OM｜｜－｜＝，

　　∴  當(dāng)t＝0即AB⊥x軸時(shí)，取最小值1．

點(diǎn)評(píng)  （1）除了選用點(diǎn)參數(shù)外，還可設(shè)OA方程為y＝kx，即選用OA斜率為參數(shù)；（2）中在設(shè)AB的方程時(shí)，若設(shè)成y＝k（x－1），則需討論．

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

過(guò)拋物線＝x的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦OA、OB．

　�。�1）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)M（1，0）；

　�。�2）求△ABO面積的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2007年上海市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(理) 題型：044

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)(1，0)的距離比M到定直線x＝－2的距離小1．

(1)求證：M點(diǎn)軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程；

(2)大家知道，過(guò)圓上任意一點(diǎn)P，任意作相互垂直的弦PA，PB，則弦AB必過(guò)圓心(定點(diǎn))，受此啟發(fā)，研究下面的問(wèn)題：

①過(guò)(1)中的拋物線的頂點(diǎn)O任作相互垂直的弦OA，OB，則弦AB是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(設(shè)為Q)，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由；

②研究：對(duì)于拋物線y2＝2px上頂點(diǎn)以外的定點(diǎn)是否也有這樣的性質(zhì)？請(qǐng)?zhí)岢鲆粋�(gè)一般的結(jié)論，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆江西省高二第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題13分)曲線上任意一點(diǎn)M滿足, 其中F(-F( 拋物線的焦點(diǎn)是直線y＝x－1與x軸的交點(diǎn), 頂點(diǎn)為原點(diǎn)O.

（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線滿足條件：①過(guò)的焦點(diǎn)；②與交于不同

兩點(diǎn)，，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不

存在，說(shuō)明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過(guò)A、B的拋物線方程是(　　)

(A)y2＝x　　　　     (B)y2＝－x

(C)y2＝±x　　      (D) y2＝±x

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