已知點(diǎn)Pn(an,bn)(n∈N+)滿足an+1=abn+1,bn+1=
bn
1-4
a
2
n
,且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(-1,1),設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1、P2的直線為L(zhǎng).
(1)求直線L的方程;
(2)已知點(diǎn)Pn(an,bn)(n∈N+)在直線L上,求證:數(shù)列{
1
an
}
是等差數(shù)列;
(3)在滿足(II)條件下,求對(duì)于所有n∈N+,能使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3bn+1
成立的最大實(shí)數(shù)k的值.
分析:(1)由 b2=
b1
1-4a12
=
1
3
,知 P2(
1
3
1
3
)
.由此知過(guò)點(diǎn)P1,P2的直線l的方程為2x+y=1.
(2)由Pn(an,bn)在直線l上,知2an+bn=1.故bn+1=1-2an+1.由an+1=anbn+1,得an+1=an-2anan+1.由此知 {
1
an
}
是公差為2的等差數(shù)列.
(3)由
1
an
=
1
a1
+2(n-1)
.,知
1
an
=1+2(n-1)=2n-1
.所以 an=
1
2n-1
bn=1-2an=
2n-3
2n-1
.依題意 k≤(1+a1)(1+a2)(1+an)
b2b3bn+1
恒成立.設(shè) F(n)=(1+a1)(1+a2)(1+an)
b2b3bn+1
,所以只需求滿足k≤F(n)的F(n)的最小值.
解答:解:(1)因?yàn)?b2=
b1
1-4a12
=
1
3
,所以 a2=a1b2=
1
3
.所以 P2(
1
3
,
1
3
)

所以過(guò)點(diǎn)P1,P2的直線l的方程為2x+y=1.
(2)因?yàn)镻n(an,bn)在直線l上,所以2an+bn=1.所以bn+1=1-2an+1
由an+1=anbn+1,得an+1=an(1-2an+1).即an+1=an-2anan+1
所以
1
an+1
-
1
an
=2
.所以 {
1
an
}
是公差為2的等差數(shù)列.
(3)由(2)得
1
an
=
1
a1
+2(n-1)

所以
1
an
=1+2(n-1)=2n-1

所以 an=
1
2n-1

所以 bn=1-2an=
2n-3
2n-1
.(8分)
依題意 k≤(1+a1)(1+a2)(1+an)
b2b3bn+1
恒成立.
設(shè) F(n)=(1+a1)(1+a2)(1+an)
b2b3bn+1

所以只需求滿足k≤F(n)的F(n)的最小值.
因?yàn)?
F(n+1)
F(n)
=
(1+a1)(1+a2)(1+an)(1+an+1)
b2b3bn+2
(1+a1)(1+a2)(1+an)
b2b3bn+1

=(1+an+1)
bn+2
=
2n+2
2n+1
2n+3
=
4n2+8n+4
4n2+8n+3
>1
,
所以F(n)(x∈N*)為增函數(shù).
所以 F(n)min=F(1)=
2
3
=
2
3
3

所以 k≤
2
3
3
.所以 kmax=
2
3
3
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運(yùn)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地選用公式.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(理)已知點(diǎn)A(1,0),B(0,1)和互不相同的點(diǎn)P1,P2,P3,…,Pn,…,滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,P1是線段AB的中點(diǎn),對(duì)于給定的公差不為零的an,都能找到唯一的一個(gè)bn,使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一個(gè)指數(shù)函數(shù)
 
(寫(xiě)出函數(shù)的解析式)的圖象上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
},其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1),點(diǎn)列Pn(an,bn)(n∈N+)在L中,p1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn),數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若f(n)=
an,(n為奇數(shù))
bn,(n為偶數(shù))
,令Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),試寫(xiě)出Sn關(guān)于n的表達(dá)式;
(Ⅲ)若f(n)=
an,(n為奇數(shù))
bn,(n為偶數(shù))
,給定奇數(shù)m(m為常數(shù),m∈N+,m>2).是否存在k∈N+,,使得
f(k+m)=2f(m),若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1),點(diǎn)列Pn(an,bn)在L中,P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn),等差數(shù)列{an}的公差為1,n∈N*
(I)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若f(n)=
an  n為正奇數(shù)
bn  n為正偶數(shù)
,令Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n);試寫(xiě)出Sn關(guān)于n的函數(shù)解析式;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,1+b)
,又知點(diǎn)列Pn(an,bn)∈L,P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn).等差數(shù)列{an}的公差為1,n∈N*
(Ⅰ)求Pn(an,bn);
(Ⅱ)若f(n)=
an,n=2k-1
bn,n=2k
k∈N*,f(k+11)=2f(k)
,求出k的值;
(Ⅲ)對(duì)于數(shù)列{bn},設(shè)Sn是其前n項(xiàng)和,是否存在一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)M,使
Sn
S2n
=M
,若存在,求出此常數(shù)M,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1)
,點(diǎn)列Pn(an,bn)在L中,P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn),等差數(shù)列{an}的公差為1,n∈N+
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)
,是否存在k∈N+使得f(k+11)=2f(k),若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)求證:
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5
(n≥2,n∈N*).

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