Question

已知函數(shù)f（x）=（ a為常數(shù)）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，+∞）（t∈Z）上存在極值，求t的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)可得，
∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為，
∴，解得a=1---------------------------------（5分）
（Ⅱ）由（I）可知
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，+∞）（t∈Z）上存在極值，
∴方程f′（x）=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，
∴方程 在[t，+∞）（t∈Z）上有解----------------------------------（7分）
令，
∵x＞0，∴，
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)---（9分）
又，

∴函數(shù)g（x）有零點(diǎn)x₀∈（3，4）----------------------------------（12分）
∵方程g（x）=0在[t，+∞）上有解，且t∈Z，
∴t≤3，∴t的最大值為3．---------（13分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為，可得，解之即可；（Ⅱ）把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)g（x）有零點(diǎn)x₀∈（3，4），進(jìn)而可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及切線問(wèn)題和構(gòu)造函數(shù)法以及函數(shù)的零點(diǎn)，屬中檔題．