(本小題滿(mǎn)分12分)在中,頂點(diǎn)
,
,
、
分別是
的重心和內(nèi)心,且
.
求頂點(diǎn)
的軌跡
的方程;
過(guò)點(diǎn)
的直線(xiàn)交曲線(xiàn)
于
、
兩點(diǎn),
是直線(xiàn)
上一點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)
、
、
的斜率分別為
,
,
,求證:
.
(1) ; (2) 詳見(jiàn)解析
【解析】
試題分析:(1) 根據(jù)題中三角形內(nèi)心的含義可知:,又由條件:
,可見(jiàn)I和G的縱坐標(biāo)相等,又
,
,代入化簡(jiǎn)得:
,根據(jù)橢圓的定義得:頂點(diǎn)
的軌跡是以
為焦點(diǎn),4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,其中
進(jìn)而其方程,不過(guò)要注意去掉頂點(diǎn)噢; (2) 根據(jù)題意可設(shè)出直線(xiàn)方程,進(jìn)而表示出點(diǎn)
的坐標(biāo),不過(guò)要注意分斜率是否存在:當(dāng)直線(xiàn)
斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)
且
,
,
,與橢圓聯(lián)立方程組,運(yùn)用韋達(dá)定理可得
,
.由題意:
,
,
.化簡(jiǎn)得
.當(dāng)直線(xiàn)
斜率不存在時(shí),易得結(jié)論.
試題解析:(1) 已知,且
,
,
其中為內(nèi)切圓半徑,化簡(jiǎn)得:
,頂點(diǎn)
的軌跡是以
為焦點(diǎn),
4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓(去掉長(zhǎng)軸端點(diǎn)),其中
進(jìn)而其方程為. (5分)
(2) 證明:當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)
且
,
,
聯(lián)立可得
,
. (8分)
由題意:,
,
.
當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),
,
綜上可得. (12分)
考點(diǎn):1.軌跡方程的求法;2.橢圓方程的求法;3.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年甘肅省天水市高三一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若雙曲線(xiàn) 的離心率為2,則其漸近線(xiàn)的斜率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年重慶市高二上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)
相交于
兩點(diǎn),則
=( )
A. 4 B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年重慶市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,則
( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年重慶市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
全集,
,則
( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
若三棱錐的三條側(cè)棱
,
,
兩兩互相垂直且長(zhǎng)都相等,其外接球半徑為
,則三棱錐的表面積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
下面左圖是某學(xué)習(xí)小組學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖葉圖,1號(hào)到16號(hào)同學(xué)的成績(jī)依次為、
、
、
,右圖是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績(jī)?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)的學(xué)生人數(shù)的算法流程圖,那么該算法流程圖輸出的結(jié)果是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
正四面體的外接球半徑為
,過(guò)棱
作該球的截面,則截面面積的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年上海市青浦區(qū)高三上學(xué)期期終學(xué)習(xí)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)函數(shù),函數(shù)
,則方程
實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是( ).
(A)個(gè) (B)
個(gè) (C)
個(gè) (D)
個(gè)
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