【題目】如圖,斜三棱柱中,
是邊長為2的正三角形,
為
的中點,
平面
,點
在
上,
,
為
與
的交點,且
與平面
所成的角為
.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)連結,證明相似得到
,得到證明.
(2)以,
,
所在直線為
軸,
軸,
軸建立如圖所示的空間直角坐標系,平面
的法向量為
,平面
的法向量為
,計算夾角得到答案.
(1)連結,
為
的中點,
,
,
又,
,
.
又平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)因為是邊長為2的正三角形,
為
的中點,
平面
,
所以,,
,
兩兩垂直,以
,
,
所在直線為
軸,
軸,
軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
與平面
所成的角為
,又
∥
,
與平面
所成的角為
,
又平面
,
與平面
所成的角為
,即
.
又是邊長為2的正三角形,
為
的中點,
,
由題意知,,
,
,
所以,,
,
,
設平面的法向量為
,
所以,,即
,取
,
設平面的法向量為
,
由,得
,取
,
所以,
設二面角的大小為
,
.
所以二面角的正弦值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某生活超市有一專柜預代理銷售甲乙兩家公司的一種可相互替代的日常生活用品.經過一段時間分別單獨試銷甲乙兩家公司的商品,從銷售數據中隨機各抽取50天,統(tǒng)計每日的銷售數量,得到如下的頻數分布條形圖.甲乙兩家公司給該超市的日利潤方案為:甲公司給超市每天基本費用為90元,另外每銷售一件提成1元;乙公司給超市每天的基本費用為130元,每日銷售數量不超過83件沒有提成,超過83件的部分每件提成10元.
(Ⅰ)求乙公司給超市的日利潤(單位:元)與日銷售數量
的函數關系;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,回答下列問題:
(1)求甲公司產品銷售數量不超過87件的概率;
(2)如果僅從日均利潤的角度考慮,請你利用所學過的統(tǒng)計學知識為超市作出抉擇,選擇哪家公司的產品進行銷售?并說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某人將編號分別為1,2,3,4,5的5個小球隨機放入編號分別為1,2,3,4,5的5個盒子中,每個盒子中放一個小球若球的編號與盒子的編號相同,則視為“放對”,否則視為“放錯”,則全部“放錯”的情況有________種.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】隨著移動互聯網的發(fā)展,與餐飲美食相關的手機APP軟件層出不窮.現從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家,對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下.
(1)已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中,甲商家的“平均送達時間”為18分鐘,F從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調研,求甲商家被抽到的概率;
(2)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數及平均數;
(3)如果以“平均送達時間”的平均數作為決策依據,從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D、E分別是AC、BC的中點,F在SE上,且SF=2FE.
(1)求證:平面SBC⊥平面SAE
(2)若G為DE中點,求二面角G﹣AF﹣E的大小.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,斜三棱柱中,
是邊長為2的正三角形,
為
的中點,
平面
,點
在
上,
,
為
與
的交點,且
與平面
所成的角為
.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中,用如圖所示的三角形(楊輝三角)解釋了二項和的乘方規(guī)律.右邊的數字三角形可以看作當n依次取0,1,2,3,…時展開式的二項式系數,相鄰兩斜線間各數的和組成數列
.例:
,
,
,….
(1)寫出數列的通項公式(結果用組合數表示),無需證明;
(2)猜想,與
的大小關系,并用數學歸納法證明.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合,極軸與軸的正半軸重合,曲線
的極坐標方程是
,直線
的參數方程是
(
為參數).
(1)若,
是圓
上一動點,求點
到直線
的距離
的最小值和最大值;
(2)直線與
關于原點對稱,且直線
截曲線
的弦長等于
,求
的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】國家正積極推行垃圾分類工作,教育部辦公廳等六部門也發(fā)布了《關于在學校推進生活垃圾分類管理工作的通知》.《通知》指出,到2020年底,各學校生活垃圾分類知識普及率要達到100%某市教育主管部門據此做了“哪些活動最能促進學生進行垃圾分類”的問卷調查(每個受訪者只能在問卷的4個活動中選擇一個)如圖是調查結果的統(tǒng)計圖,以下結論正確的是( )
A.回答該問卷的受訪者中,選擇的(2)和(3)人數總和比選擇(4)的人數多
B.回該問卷的受訪者中,選擇“校園外宣傳”的人數不是最少的
C.回答該問卷的受訪者中,選擇(4)的人數比選擇(2)的人數可能多30人
D.回答該問卷的總人數不可能是1000人
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