【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)當時,若關(guān)于
的方程
有唯一實數(shù)解,試求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)有兩個極值點
,
,且不等式
恒成立,試求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】
(1)對函數(shù)求導,求出
的值可得切點坐標,求出
的值,可得切線斜率,利用點斜式可得在點
的切線方程;(2)原方程等價于
,對
求導得到函數(shù)
單調(diào)區(qū)間,可知當
時,
;當
時,
,結(jié)合單調(diào)性可得到實數(shù)
的取值范圍;(3)對函數(shù)
求導,可得
,
恒成立
恒成立,將
用
替換,并構(gòu)造函數(shù)
,對
求導可求得函數(shù)
在
上的最小值,即可知道實數(shù)
的取值范圍.
(1)當時,有
,
,
,
過點
的切線方程為
,即
.
(2)當時,有
,其定義域為
,
從而方程,可化為
,令
,
則,
由或
,
在
和
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,
且,
又當時,
;當
時,
,
關(guān)于
的方程
有唯一實數(shù)解,所以實數(shù)
的取值范圍是
或
.
(3)的定義域為
,
令,
又因為函數(shù)有兩個極值點
,
有兩個不等實數(shù)根
,
,且
,
從而,
由不等式恒成立
恒成立,
,
令,
,
當時恒成立,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,
,故實數(shù)
的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
的最大值;
(2)令其圖象上任意一點
處切線的斜率
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當,
,方程
有唯一實數(shù)解,求正數(shù)
的值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
、
是非空數(shù)集,且
,設(shè)
,
;
(1)若,
,求
;
(2)是否存在實數(shù),使得
,且
?若存在,請求出滿足條件的實數(shù)
;若不存在,請說明理由;
(3)若,且
,
,
是單調(diào)遞增函數(shù),求集合
、
;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某保險公司利用簡單隨機抽樣方法,對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下:
賠付金額(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
車輛數(shù)(輛) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計賠付金額大于投保金額的概率.
(2)在樣本車輛中,車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機的占20%,估計在已投保車輛中,新司機獲賠金額為4000元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若a=1,求f(x)的極值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家大約在公元222年趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的)類比“趙爽弦圖”,趙爽弦圖可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形,它是由個3全等的等邊三角形與中間的一個小等邊三角形組成的一個大等邊三角形,設(shè)DF2AF,若在大等邊三角形中隨機取一點,則此點取自小等邊三角形的概率是( )
A. B.
C.
D.
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