Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）動(dòng)直線l與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，與軸的正半軸相交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若為定值，請(qǐng)判斷直線l是否過(guò)定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線l過(guò)定點(diǎn)，，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，可得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，把點(diǎn)代入，求出，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，則.由，消去，韋達(dá)定理可得.由，可得為定值，故，即求，即得直線l過(guò)定點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由，，，，可得，.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)在橢圓上，

，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，

設(shè)，則.

由，消去，整理可得，

則，.

由，

可得.

，

，

，.

，，

，

若為定值，則必有，

解得，，，.

故直線 過(guò)定點(diǎn)，.