Question

已知二次函數(shù)g（x）=x²+bx+c且在x=-1處取得最小值為m-1（m≠0）．
（Ⅰ）求g（x）；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=

g(x)

x

，若曲線y=f（x）上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為

2

，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意求得函數(shù)的對(duì)稱軸方程求得b，進(jìn)而根據(jù)最小值求得c，則g（x）的解析式可得．
（Ⅱ）求得f（x）的表達(dá)式，設(shè)出p點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出PQ利用基本不等式求得其最小值表達(dá)式，進(jìn)而求得m．

解答： 解：（Ⅰ）由題知：對(duì)稱軸x=-

b

2

=-1，b=2，
g（-1）=1-2+c=m-1，c=m，
∴g（x）=x²+2x+m，
（Ⅱ）f（x）=

g(x)

x

=x+

m

x

+2，
設(shè)p（x₀，y₀），則|PQ|²=

x

2 0

+（y₀-2）²=

x

2 0

+（x₀+

m

x0

）²=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m，
當(dāng)且僅當(dāng)2

x

2 0

=

m2

x 2 0

時(shí)，|PQ|²取得最小值．
當(dāng)m＞0時(shí)，2

2

|m|+2m=2，m=

2

-1，
當(dāng)m＜0時(shí)，2

2

|m|+2m=2，m=-

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析和推理的能力．