Question

已知直線(xiàn)AB過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F，交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的上方，且弦AB的中點(diǎn)為C（2，m），求弦AB的長(zhǎng)和m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線(xiàn)y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x₂．可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），解得m=

2

．可得直線(xiàn)l的方程為y=

2

（x-1）．與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得x₁+x₂，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答： 解：由拋物線(xiàn)y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則kAB=

m-0

2-1

=

y2-y1

x2-x1

，即

y2-y1

x2-x1

=m＞0，
y₁+y₂=2m．
由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x₂．
可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴2m•m=4，解得m=

2

．
∴直線(xiàn)l的方程為y=

2

（x-1）．
聯(lián)立

y= 2 (x-1) y2=4x

，化為x²-4x+1=0，
∴x₁+x₂=4．
∴|AB|=x₁+x₂+p=4+2=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式、“點(diǎn)差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．