已知a＞0，b＞0，且點(diǎn)（a，b）在過點(diǎn)（0，2），（1，0）的直線上，求S=2
ab
-(4a2+b2)的最大值為
 
．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：過點(diǎn)（0，2），（1，0）的直線為
x
1
+
y
2
=1，由于點(diǎn)（a，b）在直線上，可得2a+b=2．可得b=2-2a＞0，0＜a＜1．于是S=2
ab
-(4a2+b2)=2
a(2-2a)
-4a2-（2-2a）2=-8a2+8a-4+2
2a-2a2
，令
2a-2a2
=t，則0＜t≤
2
2
．則S=-4t2+2t-4，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答： 解：過點(diǎn)（0，2），（1，0）的直線為
x
1
+
y
2
=1，
∵點(diǎn)（a，b）在直線上，∴2a+b=2．
∴b=2-2a＞0，0＜a＜1．
∴S=2
ab
-(4a2+b2)=2
a(2-2a)
-4a2-（2-2a）2=-8a2+8a-4+2
2a-2a2
，
令
2a-2a2
=t，則0＜t≤
2
2
．
∴S=-4t2+2t-4=-4(t-
1
4
)2-
15
4
≤-
15
4
，當(dāng)t=
1
4
時(shí)，取等號．
∴S的最大值為-
15
4
．
故答案為：-
15
4
．
點(diǎn)評：本題考查了直線的方程、二次函數(shù)的單調(diào)性、換元法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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（1）求m的值和拋物線c的方程；
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．

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已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件
(x-1)2+(y-3)2
=
|x+y+1|
2
，則點(diǎn)P（x，y）的運(yùn)動(dòng)軌跡是（　　）
A、拋物線B、雙曲線C、橢圓D、圓

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b∈R，
3+i
1-i
=a+bi（i為虛數(shù)單位），則a+b=（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2（x-
π
6
）+sin2（x+
π
6
）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-
π
3
，
π
6
]，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)z滿足：（z-i）（1-i）=2，則z=（　　）
A、-1-2iB、-1+2i
C、1-2iD、1+2i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知cos(
π
2
+α)=-
2
3
，則cos2α=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩定點(diǎn)F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當(dāng)a=3和a=5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為（　　）
A、都是雙曲線
B、都是射線
C、雙曲線的一支和一條射線
D、都是雙曲線的一支

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