Question

在數列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）
①求數列{a_n}的通項公式
②若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•（a_n+3）（λ為非零常數），問是否存在整數λ使得對任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①由已知，得a_n=S_n-1+3n-4（n≥2），利用a_n與s_n的關系，兩式相減，a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥2），初步判斷新數列{a_n+3}具有等比數列的性質，再考慮n=1的情形．
②寫出數列{b_n}的通項，首先假設存在λ使得滿足題意，然后計算化簡b_n+1-b_n，再結合恒成立問題進行轉化，將問題轉化為：(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1對任意的n∈N*恒成立．然后分n為奇偶數討論即可獲得λ的范圍，再結合為整數即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）①
得a_n=S_n-1+3n-4（n≥2）②
①-②得a_n+1=2a_n+3（n≥2）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥2）
又由②得 a₂=S₁+6-4=a₁+2=1
∴a₂+3=4
∴a₂+3=2（a₁+3）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）（n≥1）
∴數列{a_n+3}是首項為2，公比為2的等比數列
∴a_n+3=2×2^n-1=2ⁿ
∴數列{a_n}的 a_n=2ⁿ-3（n≥1）
（2）由（1）可得  b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ
b_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹
要使b_n+1＞b_n恒成立，只需b_n+1-b_n=2•3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ＞0恒成立，
即λ•(-1)n-1＜(

3

2

)n-1恒成立
當n為奇數時，λ＜(

3

2

)n-1恒成立   而(

3

2

)n-1的最小值為1∴λ＜1（10分）
當n為偶數時，λ＞-(

3

2

)n-1恒成立  而-(

3

2

)n-1最大值為-

3

2

∴λ＞-

3

2

（12分）
即λ的取值范圍是1＞λ＞-

3

2

，且λ≠1
又λ為整數．
∴存在λ=-1或0，使得對任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了等比數列的定義、a_n與s_n的關系、分類討論的知識以及恒成立問題的解答規(guī)律．同時務必注意化簡計算的準確性．