Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-7|-|x-3|，
（I）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（II）當(dāng)x＜5時(shí)，不等式|x-8|-|x-a|＞2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于函數(shù)f（x）=|x-7|-|x-3|=，由此根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象．
（II）當(dāng)x＜5時(shí)，由題意可得|x-a|＜6-x恒成立．平方可得（12-2a）x＜36-a²．結(jié)合題意可得12-2a＞0，且x＜．故有≥5，且a＜6，由此求得a的范圍．
解答：解：（I）由于函數(shù)f（x）=|x-7|-|x-3|=，如圖所示：
（II）當(dāng)x＜5時(shí)，由于不等式|x-8|-|x-a|＞2恒成立，
故|x-a|＜6-x恒成立．
平方可得，（12-2a）x＜36-a²．
結(jié)合題意可得12-2a＞0，且x＜．
故有≥5，且a＜6，解得6＞a≥4．
故所求的a的范圍為[4，6）．
點(diǎn)評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．