Question

9臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)分別安裝在甲、乙、丙3個(gè)車(chē)間內(nèi)，每個(gè)車(chē)間3臺(tái)，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作的概率為

1

2

．若一個(gè)車(chē)間內(nèi)至少有一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作，則這個(gè)車(chē)間不需要停產(chǎn)維修，否則需要停產(chǎn)維修．
（1）求甲車(chē)間不需要停產(chǎn)維修的概率；
（2）若每個(gè)車(chē)間維修一次需1萬(wàn)元（每月至多維修一次），用ξ表示每月維修的費(fèi)用，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記某臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作的事件為A，甲車(chē)間3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)都出現(xiàn)故障的事件為M，甲車(chē)間3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)至少有一臺(tái)能正常工作的事件為N．由此利用對(duì)立事件概率公式能求出甲車(chē)間不需停產(chǎn)維修的概率．
（2）記ξ表示每月維修的費(fèi)用，那么ξ可取0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）記某臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作的事件為A，
甲車(chē)間3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)都出現(xiàn)故障的事件為M，
甲車(chē)間3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)至少有一臺(tái)能正常工作的事件為N．
則P(A)=

1

2

…（1分）
P(M)=(1-P(A))3=(1-

1

2

)2=

1

8

…（3分）
P(N)=1-P(M)=1-

1

8

=

7

8

，
∴甲車(chē)間不需停產(chǎn)維修的概率為

7

8

．…（5分）
（2）記ξ表示每月維修的費(fèi)用，那么ξ可取0，1，2，3（單位：萬(wàn)元） …（6分）
依題意有：P(ξ=0)=(

7

8

)3=

343

512

…（7分）
P(ξ=1)=

C

1 3

×(

1

8

)1×(

7

8

)2=

147

512

…（8分）
P(ξ=2)=

C

2 3

×(

1

8

)2×(

7

8

)1=

21

512

…（9分）
P(ξ=3)=(

1

8

)3=

1

512

…（10分）
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	343 512	147 512	21 512	1 512

ξ的數(shù)學(xué)期望為：Eξ=0×

343

512

+1×

147

512

+2×

21

512

+3×

1

512

=

192

512

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．