Question

已知f（x）=ln（x+1），f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）．
（I）求g（x）=f（x）-f^-1（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對任意x＞0，不等式Inf^-1（x）-f（e^x）＜x-a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由y=ln（x+1），得x=e^y-1，∴f^-1（x）=e^x-1，x∈R．…（1分）
∴g（x）=ln（x+1）-e^x+1，且x＞-1，∴g′（x）=-e^x．…（3分）
當x＞0時，＜1＜e^x，∴g′（x）＜0；…（4分）
當-1＜x＜0時，＞1＞e^x，∴g′（x）＞0．…（5分）
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．…（6分）
（II）設h（x）=x+f（e^x）-lnf^-1（x）=x+ln（e^x+1）-ln（e^x-1），x＞0…（7分）
∵h′（x）=+-=×，…（9分）
當0＜x＜ln2時，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，ln2）上是減函數(shù)； …（10分）
當x＞ln2時，h′（x）＞0，∴h（x）在（ln2，+∞）上是增函數(shù)． …（11分）
∴h（x）_min=h（ln2）=ln2+ln3=ln6，∴a＜ln6．…（12分）
分析：（I）求出f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）．求出g（x）=f（x）-f^-1（x）的解析式，然后求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0求出函數(shù)的增區(qū)間，令導數(shù)小于0求出函數(shù)的減區(qū)間．
（II）構(gòu)造函數(shù)h（x）=x+f（e^x）-lnf^-1（x）=x+ln（e^x+1）-ln（e^x-1），求出其最小值，令a小于其最小值即可．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立的問題，求解此類問題的關鍵是運用導數(shù)的計算公式正確求出導數(shù)，第二問的恒成立問題關鍵是正確轉(zhuǎn)化為求最值的問題，轉(zhuǎn)化后易解．本題運算量較大，易因馬虎導致某一步運算出錯，導致后續(xù)的運算結(jié)果全錯．運算變形時要嚴謹．