Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=x 

1

n

+ax+b（n∈N₊，a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)n=2，a=-1，b=1時，求函數(shù)f_n（x）的極值；
（Ⅱ）若n≥2，a=1，b=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)存在唯一的零點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)x_n是f_n（x）在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)的零點，判斷數(shù)列x₂，x₃，…，x_n，…的增減性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=2，a=-1，b=1時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f_n（x）的極值；
（Ⅱ）若n≥2，a=1，b=-1，根據(jù)函數(shù)零點的判斷條件即可證明：f_n（x）在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)存在唯一的零點；
（Ⅲ）根據(jù)x_n是f_n（x）在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)的零點，不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=2，a=-1，b=1時，f₂（x）=

x

-x+1，x≥0，
f′₂（x）=

1

2 x

-1，x≥0，
由f′₂（x）＞0，解得0＜x＜

1

4

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′₂（x）＜0，解得x＞

1

4

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=

1

4

時，函數(shù)f₂（x）取得極大值，無極小值．
（Ⅱ）若n≥2，a=1，b=-1，得：f_n（x）=x 

1

n

+x-1，
∴易得：f_n（0）f_n（

1

2

）＜0，于是f_n（x）在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)存在零點；
又當(dāng)x∈（0，

1

2

）時，f′_n（x）=

1

n

x

1-n

n

+1＞0恒成立
∴函數(shù)f_n（x）在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)是單調(diào)遞增的
故f_n（x）在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)存在唯一的零點．              
（Ⅲ）：數(shù)列x₂，x₃，…，x_n，…是單調(diào)遞減的．理由如下：
由（Ⅱ）設(shè)x_n （n≥2）是f_n（x）在（0，

1

2

）內(nèi)唯一的零點，
則f_n（x_n）=x_n 

1

n

+ax_n-1=0，
又f_n+1（x_n+1）=xn+1

1

n+1

+x_n+1-1，x_n+1∈（0，

1

2

），
于是f_n（x_n）=0=f_n+1（x_n+1）=xn+1

1

n+1

+x_n+1-1＞xn+1

1

n

+x_n+-1=f_n（x_n+1），
即f_n（x_n）＞f_n（x_n+1），
由（Ⅱ）f_n（x）在（0，

1

2

）上是單調(diào)遞增的，
∴當(dāng)n≥2時，x_n＞x_n+1．
故數(shù)列x₂，x₃，…，x_n，…是單調(diào)遞減的．

點評：本題主要考查函數(shù)極值和函數(shù)零點的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．