設(shè)是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,
是等差數(shù)列,且
,
(1)求,
的通項公式;
(2)記的前
項和為
,求證:
;
(3)若均為正整數(shù),且
記所有可能乘積
的和
,求證:
.
(1) (2)證法一:放縮法;
(2)證法二: 應(yīng)用
(3)證法一:錯位相減法;證法二:用數(shù)學歸納法證明。
【解析】
試題分析:(1)設(shè)的公比為
的公差為
,則
2分
解得所以
5分
(2)證法一:由題意得
6分
8分
所以
9分
(2)證法二:由題意得
6分
,當
時
且也成立,
8分
所以
9分
(3)證法一:由題意
11分
令
以上兩式相減得 13分
又,所以
14分
證法二:用數(shù)學歸納法證明。
(1)當時,
所以結(jié)論成立。
10分
(2)假設(shè)當時結(jié)論成立,即
。
11分
當時,
,所以當
時也成立
13分
綜合(1)、(2)知對任意
都成立
14分
考點:本題主要考查等比數(shù)列的通項公式,“錯位相減法”,數(shù)學歸納法。
點評:典型題,本題綜合性較強,處理的方法多樣。涉及數(shù)列不等式的證明問題,提供了“錯位相減求和、放縮、證明”和“數(shù)學歸納法”等證明方法,能拓寬學生的視野。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
Sn |
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
Sn |
an2 |
2 |
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科目:高中數(shù)學 來源:2011屆重慶市七區(qū)高三第一次調(diào)研測試數(shù)學理卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)數(shù)列的各項都為正數(shù),其前
項和為
,已知對任意
,
是
和
的等比中項.
(Ⅰ)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列
的通項公式;
(Ⅱ)證明;
(Ⅲ)設(shè)集合,
,且
,若存在
∈
,使對滿足
的一切正整數(shù)
,不等式
恒成立,求這樣的正整數(shù)
共有多少個?
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年重慶市七區(qū)高三第一次調(diào)研測試數(shù)學理卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)數(shù)列的各項都為正數(shù),其前
項和為
,已知對任意
,
是
和
的等比中項.
(Ⅰ)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列
的通項公式;
(Ⅱ)證明;
(Ⅲ)設(shè)集合,
,且
,若存在
∈
,使對滿足
的一切正整數(shù)
,不等式
恒成立,求這樣的正整數(shù)
共有多少個?
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科目:高中數(shù)學 來源:江蘇省月考題 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設(shè)數(shù)列的各項都為正數(shù),其前
項和為
,已知對任意
,
是
和
的等比中項.
(Ⅰ)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列
的通項公式;
(Ⅱ)證明;<1
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