Question

（本題滿分16分）

已知函數(shù)f(x)＝lnx＋，其中a為大于零的常數(shù)．

（1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，e²]上的最小值．

Answer 1

（本題滿分16分）

解： f ¢(x)＝(x＞0) …… 2分

（1）由已知，得f ¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，

又當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范圍是(0，1)……6分

 （2）①當(dāng)a≥時(shí)，因?yàn)?i>f ¢(x)＞0在(e，e²)上恒成立，這時(shí)f(x)在[e，e²]上為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝e時(shí)，f(x)_min＝f(e)＝1＋ …………… 8分

       ②當(dāng)0＜a≤時(shí)，因?yàn)?i>f ¢(x)＜0在(e，e²)上恒成立，這時(shí)f(x)在[e，e²]上為減函數(shù)，

所以，當(dāng)x＝e²時(shí)，f(x)_min＝f(e²)＝2+，………………10分

       ③當(dāng)＜a＜時(shí)，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e²)，

又因?yàn)閷?duì)于x∈(e，)有f ¢(x)＜0，

對(duì)于x∈(，e²)有f ¢(x)＞0，

所以當(dāng)x＝時(shí)，f(x)_min＝f()＝ln＋1－…………14分

       綜上，f(x)在[e，e²]上的最小值為

       f(x)_min＝…………………16分