Question

對(duì)于數(shù)列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．這種“T變換”記作B=T（A），繼續(xù)對(duì)數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c_l，c₂，c₃，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．
（Ⅰ）寫出數(shù)列A：2，6，4經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃不全相等，判斷數(shù)列A：a₁，a₂，a₃經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”是否會(huì)結(jié)束，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列A：400，2，403經(jīng)過(guò)k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知條件直接寫出數(shù)列A：2，6，4經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃不全相等，數(shù)列A：a₁，a₂，a₃經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”不會(huì)結(jié)束，只需說(shuō)明數(shù)列經(jīng)過(guò)變換成為非零常數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列A：400，2，403經(jīng)過(guò)k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值．要抓住B經(jīng)過(guò)6次“T變換”后得到的數(shù)列也是形如“a，a+3，3”的數(shù)列，數(shù)列B經(jīng)過(guò)6×22=132次“T變換”后得到的數(shù)列為2，5，3變換后使得各項(xiàng)的和最小，數(shù)列和的最小值為2，以后數(shù)列循環(huán)出現(xiàn)，數(shù)列各項(xiàng)和不會(huì)更�。甼的最小值為136．

解答：解：（Ⅰ）依題意，5次變換后得到的數(shù)列依次為
4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2…（3分）
所以，數(shù)列A：2，6，4經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列為2，0，2，…（4分）
（Ⅱ）數(shù)列A經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”不可能結(jié)束
設(shè)數(shù)列D：d₁，d₂，d₃，E：e₁，e₂，e₃，F(xiàn)：O，0，0，且T（D）=E，T（E）=F
依題意|e₁-e₂|=0，|e₂-e₃|=0，|e₃-e₁|=0，所以e₁=e₂=e₃
即非零常數(shù)列才能通過(guò)“T變換”結(jié)束．…①…（6分）
設(shè)e₁=e₂=e₃=e（e為非零自然數(shù)）．
為變換得到數(shù)列E的前兩項(xiàng)，數(shù)列D只有四種可能
D：d₁，d₁+e，d₁+2e，D：d₁，d₁+e，d₁；D：d₁，d₁-e，d₁，D：d₁，d₁-e，d₁-2e；
而任何一種可能中，數(shù)列E的笫三項(xiàng)是O或2e．
即不存在數(shù)列D，使得其經(jīng)過(guò)“T變換”成為非零常數(shù)列．…②…（8分）
由①②得，數(shù)列A經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”不可能結(jié)束．
（Ⅲ）數(shù)列A經(jīng)過(guò)一次“T變換”后得到數(shù)列B：398，401，3，其結(jié)構(gòu)為a，a+3，3．
數(shù)列B經(jīng)過(guò)6次“T變換”得到的數(shù)列分別為：3，a，a-3；a-3，3，a-6：a-6，a-9，3；3，a-12，a-9；a-15，3，a-12；a-18，a-15，3．
所以，經(jīng)過(guò)6次“T變換”后得到的數(shù)列也是形如“a，a+3，3”的數(shù)列，變化的是，除了3之外的兩項(xiàng)均減小18．    …（10分）
因?yàn)?98=18×22+2，所以，數(shù)列B經(jīng)過(guò)6×22=132次“T變換”后得到的數(shù)列為2，5，3．
接下來(lái)經(jīng)過(guò)“T變換”后得到的數(shù)列分別為：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，…．
至此，數(shù)列和的最小值為2，以后數(shù)列循環(huán)出現(xiàn)，數(shù)列各項(xiàng)和不會(huì)更�。�…（12分）
所以經(jīng)過(guò)1+132+3=136次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)和達(dá)到最小，
即k的最小值為136．   …（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題需要較強(qiáng)的邏輯思維能力及計(jì)算能力，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)和歸納出其規(guī)律，進(jìn)而得出答案．