Question

球O與單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各面都相切，P是球面O上一動點，AP與面ABCD所成角為α，則tanα的最大值為

2

2

．AP的最大值為

3 +1

2

．

Answer 1

分析：可根據幾何性質來解決這個問題，球內切于一個正方體，其直徑等于正方體的棱長，AP與平面ABCD所成的角為α，則α最大時，AP應在面AC₁上，故作出對棱面，在平面中研究．

解答：解：由題意，球直徑與正方體邊長相等，
正方體邊長為1，球的半徑為

1

2

，
由題意，要使AP與面ABCD所成角最大，則其在平面中的射影應最小，從而可知P點在對棱面AA₁C₁C上時，AP與平面ABCD所成的角為α，如圖，截取對棱面AA₁C₁C，
由圖知tan

α

2

=

2

2

故tanα=

2tan α 2

1-tan  2 α 2

=

2× 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

此時，AP長為球心到A的距離加上球的半徑，即

3 +1

2

故答案為2

2

，

3 +1

2

點評：本題以正方體的內切球為載體，考查正方體內切球的幾何性質，以及切線長、半徑、點心距組成的直角三角形．屬于位置關系直接轉化的題型．