Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=a_n+2，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得數(shù)列{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為a₁=3的等差數(shù)列，由此能求出a_n=2n+1．
（2）由S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n（n+2），利用裂項(xiàng)求和法能求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

解答： 解：（1）因?yàn)閍_n+1=a_n+2，所以a_n+1-a_n=2，
所以數(shù)列{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為a₁=3的等差數(shù)列，…（4分）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1．…（6分）
（2）由（1）知S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n（n+2），…（8分）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的求法，考查

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．