Question

若第一象限內有一動點Q（x，y）在過點A（2，3）且斜率為-2的直線m上運動，則log₂x+log₂y最大值為

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質,基本不等式

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：直線m的方程為：y-3=-2（x-2），化為2x+y-7=0，（x，y＞0）．利用對數(shù)的運算法則、基本不等式的性質可得log₂x+log₂y=log₂（xy）=log2(

1

2

•2xy)≤log2[

1

2

•(

2x+y

2

)2]即可得出．

解答： 解：直線m的方程為：y-3=-2（x-2），化為2x+y-7=0，（x，y＞0）．
∴l(xiāng)og₂x+log₂y=log₂（xy）=log2(

1

2

•2xy)≤log2[

1

2

•(

2x+y

2

)2]=log2(

1

2

×(

7

2

)2)=-1+2log2

7

2

=2log₂7-3．當且僅當y=2x=

7

2

時取等號．
∴l(xiāng)og₂x+log₂y最大值為2log₂7-3．
故答案為：2log₂7-3．

點評：本題考查了對數(shù)的運算法則、基本不等式的性質，屬于基礎題．