已知橢圓C1(a>b>0)的右頂點A(1,0),過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.
(I)求橢圓C1的方程;
(II)設(shè)點P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點P處的切線與C1交于點M,N.當(dāng)線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等時,求h的最小值.
【答案】分析:(I)根據(jù)題意,求出a,b的值,然后得出橢圓的方程.
(II)設(shè)出M,N,P的坐標(biāo),將直線代入橢圓,聯(lián)立方程組,根據(jù)△判斷最值即可.
解答:解:(I)由題意得,∴,
所求的橢圓方程為
(II)不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),
則拋物線C2在點P處的切線斜率為y'|x=t=2t,
直線MN的方程為y=2tx-t2+h,將上式代入橢圓C1的方程中,
得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0,
因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點,
所以有△1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,
設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是x3,
,
設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是x4
,由題意得x3=x4,
即有t2+(1+h)t+1=0,
其中的△2=(1+h)2-4≥0,∴h≥1或h≤-3;
當(dāng)h≤-3時有h+2<0,4-h2<0,
因此不等式△1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0不成立;
因此h≥1,當(dāng)h=1時代入方程t2+(1+h)t+1=0得t=-1,
將h=1,t=-1代入不等式△1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0成立,因此h的最小值為1.
點評:本題考查圓錐圖象的綜合利用,橢圓方程的應(yīng)用,通過構(gòu)造一元二次方程,利用根的判別式計算,屬于中檔題.
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

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(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

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已知橢圓C1(a>b>0)的右頂點A(1,0),過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點P處的切線與C1交于點M,N.若存在點P,使得線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等時,求h的取值范圍.

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(1)若a=2b,求橢圓C1及雙曲線C2的離心率;
(2)若△ACD和△PCD的面積相等,求點P的坐標(biāo)(用a,b表示).

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