Question

在（1+x+x²）ⁿ=D+Dx+Dx²+…+Dx^r+…+Dx^2n﹣1+Dx²ⁿ的展開式中，把D，D，D，…，D叫做三項(xiàng)式系數(shù)．

（1）當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D，D，D，D，D的值；

（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C=C+C（1≤m≤n，m∈N，n∈N），給出一個(gè)關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)D（1≤m≤2n﹣1，m∈N，n∈N）的相似性質(zhì)，并予以證明；

（3）求DC﹣DC+DC﹣C+…+DC的值．

　

Answer 1

解：（1）因?yàn)椋?+x+x²）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，

所以．

（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：，（1≤m≤2n﹣1）

因?yàn)椋?+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ，

所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（D+Dx+Dx²+…+Dx^r+…+Dx^2n﹣1+Dx^2n）．

上式左邊x^m+1的系數(shù)為，

而上式右邊x^m+1的系數(shù)為，

由（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ為恒等式，得

：，（1≤m≤2n﹣1）；

（3）∵（1+x+x²）²⁰¹⁴=Dx⁰﹣Dx¹+Dx²﹣Dx³+…+Dx²⁰¹⁴，

（x﹣1）²⁰¹⁴=Cx²⁰¹⁴﹣Cx²⁰¹³+Cx²⁰¹²﹣…+C．

∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x﹣1）²⁰¹⁴中x²⁰¹⁴系數(shù)為DC﹣DC+DC﹣DC+…+DC，

又∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x﹣1）²⁰¹⁴=（x³﹣1）²⁰¹⁴

而二項(xiàng)式（x³﹣1）²⁰¹⁴ 的通項(xiàng)，

因?yàn)?014不是3的倍數(shù)，所以（x³﹣1）²⁰¹⁴ 的展開式中沒有x²⁰¹⁴項(xiàng)，

由代數(shù)式恒成立，得

DC﹣DC+DC﹣DC+…+DC=0．