如圖所示,橢圓過點(diǎn),點(diǎn)F、A分別為橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)且有
(1)求橢圓的方程.
(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x,y),符合條件:,當(dāng)y≠0時(shí),求證:動(dòng)點(diǎn)P(x,y)一定在橢圓內(nèi)部.

【答案】分析:(1)先根據(jù)題意確定b=,再由可以得到a=c,最后根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)a2=b2+c2可以求出a,b,c的值,從而確定橢圓方程.
(2)先求出點(diǎn)F,M,A的坐標(biāo),根據(jù)P滿足條件可得到p軌跡方程,然后與橢圓方程聯(lián)立發(fā)現(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)A(3,0),又因?yàn)楫?dāng)y≠0時(shí)考慮,故要舍棄,從而得證.
解答:解:(1)依題意得:b=
,
∴2(a-c)=c,
∴a=c
∵a2=b2+c2,∴c=2
∴a=3,c=2,b=,
故橢圓的方程

(2)由動(dòng)點(diǎn)P(x,y)符合條件,F(xiàn)(2,0)、M(1,0)、A(3,0)
得P(x,y)的軌跡方程:(x-2)2+y2=1,是以F(2,0)為圓心,1為半徑的圓.
聯(lián)立橢圓的方程得:公共點(diǎn)僅為A(3,0)
又y≠0所以A(3,0)舍去,從而該圓始終在橢圓內(nèi)部.
故動(dòng)點(diǎn)P(x,y)一定在橢圓內(nèi)部.
點(diǎn)評:本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.橢圓在圓錐曲線中占據(jù)重要的位置,在高考中所占的比重特別大,一定要強(qiáng)化復(fù)習(xí).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,橢圓過點(diǎn)B(0,
5
)
,點(diǎn)F、A分別為橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)且有
AF
=
FM
=
1
2
FO

(1)求橢圓的方程.
(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x,y),符合條件:
PM
PA
=0
,當(dāng)y≠0時(shí),求證:動(dòng)點(diǎn)P(x,y)一定在橢圓內(nèi)部.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
5
5
,且A(0,2)是橢圓C的頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)A作斜率為1的直線l,設(shè)以橢圓C的右焦點(diǎn)F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),若點(diǎn)M為拋物線E上任意一點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年陜西省高三最后沖刺數(shù)學(xué)理工類模擬試卷 題型:解答題

(本題滿分12分) 如圖所示,橢圓過點(diǎn),點(diǎn)、分別為橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn) 且有 

(1)求橢圓的方程

(2)若動(dòng)點(diǎn),符合條件:,當(dāng)時(shí),求證:動(dòng)點(diǎn)一定在橢圓內(nèi)部

                                                           

                                                          

                                                           

B

 

y

 
                                                                                  

                                                                        

A

 

X

 
 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年陜西省高考最后沖刺數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖所示,橢圓過點(diǎn),點(diǎn)F、A分別為橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)且有
(1)求橢圓的方程.
(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x,y),符合條件:,當(dāng)y≠0時(shí),求證:動(dòng)點(diǎn)P(x,y)一定在橢圓內(nèi)部.

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