Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b大于0）的離心率為

1

2

，且過點（

3

，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左頂點為A，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓E于B，C（異于點A）兩點，問直線AB，AC的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

e= c a = 1 2 3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左頂點為A（-2，0），右焦點為F（1，0），當(dāng)直線BC的斜率不存在時，直線BC的方程為x=1，k_AB•k_AC=-

1

4

．當(dāng)直線BC的斜率存在時，設(shè)直線BC的方程y=k（x-1），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韋達(dá)定理求出k_AB•k_AC=-

1

4

．由此知直線AB，AC的斜率之積為定值-

1

4

．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b大于0）的離心率為

1

2

，且過點（

3

，

3

2

），
∴

e= c a = 1 2 3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左頂點為A（-2，0），右焦點為F（1，0），
①當(dāng)直線BC的斜率不存在時，直線BC的方程為x=1，
此時B，C點的坐標(biāo)分別為（1，

3

2

），（1，-

3

2

），
k_AB•k_AC=

3 2

3

•

- 3 2

3

=-

1

4

．
②當(dāng)直線BC的斜率存在時，設(shè)直線BC的方程y=k（x-1），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x1 x2=

4k2-12

3+4k2

，
k_AB•k_AC=

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=

k2(x1-1)(x2-1)

(x1+2)(x2+2)

=

k2[x1x2-(x1+x2)+1]

x1x2+2(x1+x2)+4

=

k2( 4k2-12 3+4k2 - 8k2 3+4k2 +1)

4k2-12 3+4k2 + 16k2 3+4k2 +4

=-

1

4

．
由①②知直線AB，AC的斜率之積為定值-

1

4

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與證明，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運用．