Question

（理科）數列{a_n}滿足，a₁=1，a_n+1

1 a 2 n +4

=1，記S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤

m

30

對任意的n∈N^*恒成立，則正整數m的最小值為（　�。�

• A、10
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知推導出{

1

an2

}是首項為1，公差為4的等差數列，從而得到an2=

1

4n-3

，由（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=

1

4n-1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，得數列{S_2n+1-S_n}，n∈N^*的最大項為S3-S1=a22+a32=

1

5

+

1

9

=

14

45

，由此求出m≥

28

3

，從而求出正整數的最小值為10．

解答： 解：∵a_n+1

1 a 2 n +4

=1，∴an+12(

1

an2

+4)=1，
∴

1

an+12

=

1

an2

+4，∴

1

an+12

-

1

an2

=4，n∈N^*，
∵a₁=1，∴

1

a12

=1，
∴{

1

an2

}是首項為1，公差為4的等差數列，
∴

1

an2

=1+4(n-1)=4n-3，
∴an2=

1

4n-3

，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（an+12+an+22+…+a2n+12）-（an+22+an+32+…+a2n+32）
=an+12-a2n+22-a2n+32
=

1

4n-1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數列{S_2n+1-S_n}，n∈N^*是遞減數列，
∴數列{S_2n+1-S_n}，n∈N^*的最大項為：
S3-S1=a22+a32=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

30

，∴m≥

28

3

，
∵m是正整數，∴m的最小值為10．
故選：A．

點評：本題考查滿足條件的正整數的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法、數列的單調性和等差數列的性質的合理運用．