Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，點D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于點E，點F在DA的延長線上，AF=AE，求證：
（Ⅰ）BF是⊙O的切線；
（Ⅱ）BE²=AE•DF．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,圓的切線的判定定理的證明

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）連接BD，證明BF是⊙O的切線，只需證明∠FBD=90°；
（2）由切割線定理可得BF²=AF•DF，利用AF=AE，BE=BF，可得結論．

解答： 證明：（1）連接BD，則
∵AD⊥AB，
∴BD是⊙O的直徑，
∵AF=AE，
∴∠FBA=∠EBA，
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠C，
∵∠C=∠D，∠D+∠ABD=90°，
∴∠FBA+∠ABD=90°，即∠FBD=90°，
∴BF是⊙O的切線；
（2）由切割線定理可得BF²=AF•DF，
∵AF=AE，BE=BF，
∴BE²=AE•DF．

點評：本題考查圓的切線的判斷，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．